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Union-Find 并查集算法详解

今天讲讲 Union-Find 算法,也就是常说的并查集算法,主要是解决图论中「动态连通性」问题的。名词很高端,其实特别好理解,等会解释,另外这个算法的应用都非常有趣。 说起这个 Union-Find,应该算是我的「启蒙算法」了,因为《算法4》的开头就介绍了这款算法,可是把我秀翻了,感觉好精妙啊!后来刷了 LeetCode,并查集相关的算法题目都非常有意思,而且《算法4》给的解法竟然还可以进一步优化,只要加一个微小的修改就可以把时间复杂度降到 O(1)。 废话不多说,直接上干货。先解释一下什么叫动态连通性吧。

一、问题介绍

简单说,动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图,总共有 10 个节点,他们互不相连,分别用 0~9 标记:
现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API:
class UF {
    /* 将 p 和 q 连接 */
    public void union(int p, int q);
    /* 判断 p 和 q 是否连通 */
    public boolean connected(int p, int q);
    /* 返回图中有多少个连通分量 */
    public int count();
}
这里所说的「连通」是一种等价关系,也就是说具有如下三个性质: 1、自反性:节点pp是连通的。 2、对称性:如果节点pq连通,那么qp也连通。 3、传递性:如果节点pq连通,qr连通,那么pr也连通。 比如说之前那幅图,0~9 任意两个不同的点都不连通,调用connected都会返回 false,连通分量为 10 个。 如果现在调用union(0, 1),那么 0 和 1 被连通,连通分量降为 9 个。 再调用union(1, 2),这时 0,1,2 都被连通,调用connected(0, 2)也会返回 true,连通分量变为 8 个。
判断这种「等价关系」非常实用,比如说编译器判断同一个变量的不同引用,比如社交网络中的朋友圈计算等等。 这样,你应该大概明白什么是动态连通性了,Union-Find 算法的关键就在于unionconnected函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢?用什么数据结构来实现代码呢?

二、基本思路

注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说,这么做是有原因的。因为我们使用森林(若干棵树)来表示图的动态连通性,用数组来具体实现这个森林。 怎么用森林来表示连通性呢?我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点,如果是根节点的话,这个指针指向自己。 比如说刚才那幅 10 个节点的图,一开始的时候没有相互连通,就是这样:
class UF {
    // 记录连通分量
    private int count;
    // 节点 x 的节点是 parent[x]
    private int[] parent;

    /* 构造函数,n 为图的节点总数 */
    public UF(int n) {
        // 一开始互不连通
        this.count = n;
        // 父节点指针初始指向自己
        parent = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            parent[i] = i;
    }

    /* 其他函数 */
}
如果某两个节点被连通,则让其中的(任意)一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上
public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也一样
    count--; // 两个分量合二为一
}

/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {
    // 根节点的 parent[x] == x
    while (parent[x] != x)
        x = parent[x];
    return x;
}

/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() { 
    return count;
}
这样,如果节点pq连通的话,它们一定拥有相同的根节点
public boolean connected(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    return rootP == rootQ;
}
至此,Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇?竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林,如此巧妙的解决这个比较复杂的问题! 那么这个算法的复杂度是多少呢?我们发现,主要 APIconnectedunion中的复杂度都是find函数造成的,所以说它们的复杂度和find一样。 find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根,其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN,但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树,对于一般的树可能出现极端不平衡的情况,使得「树」几乎退化成「链表」,树的高度最坏情况下可能变成N
所以说上面这种解法,find,union,connected的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的,你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题,对于unionconnected的调用非常频繁,每次调用需要线性时间完全不可忍受。 问题的关键在于,如何想办法避免树的不平衡呢?只需要略施小计即可。

三、平衡性优化

我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象,关键在于union过程:
public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也可以
    count--; 
我们一开始就是简单粗暴的把p所在的树接到q所在的树的根节点下面,那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况,比如下面这种局面:
长此以往,树可能生长得很不平衡。我们其实是希望,小一些的树接到大一些的树下面,这样就能避免头重脚轻,更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组,记录每棵树包含的节点数,我们不妨称为「重量」:
class UF {
    private int count;
    private int[] parent;
    // 新增一个数组记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        // 最初每棵树只有一个节点
        // 重量应该初始化 1
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    /* 其他函数 */
}
比如说size[3] = 5表示,以节点3为根的那棵树,总共有5个节点。这样我们可以修改一下union方法:
public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;

    // 小树接到大树下面,较平衡
    if (size[rootP] > size[rootQ]) {
        parent[rootQ] = rootP;
        size[rootP] += size[rootQ];
    } else {
        parent[rootP] = rootQ;
        size[rootQ] += size[rootP];
    }
    count--;
}
这样,通过比较树的重量,就可以保证树的生长相对平衡,树的高度大致在logN这个数量级,极大提升执行效率。 此时,find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN),即便数据规模上亿,所需时间也非常少。

四、路径压缩

这步优化特别简单,所以非常巧妙。我们能不能进一步压缩每棵树的高度,使树高始终保持为常数?
这样find就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点,相应的,connectedunion复杂度都下降为 O(1)。 要做到这一点,非常简单,只需要在find中加一行代码:
private int find(int x) {
    while (parent[x] != x) {
        // 进行路径压缩
        parent[x] = parent[parent[x]];
        x = parent[x];
    }
    return x;
}
这个操作有点匪夷所思,看个 GIF 就明白它的作用了(为清晰起见,这棵树比较极端):
可见,调用find函数每次向树根遍历的同时,顺手将树高缩短了,最终所有树高都不会超过 3(union的时候树高可能达到 3)。 PS:读者可能会问,这个 GIF 图的find过程完成之后,树高恰好等于 3 了,但是如果更高的树,压缩后高度依然会大于 3 呀?不能这么想。这个 GIF 的情景是我编出来方便大家理解路径压缩的,但是实际中,每次find都会进行路径压缩,所以树本来就不可能增长到这么高,你的这种担心应该是多余的。

五、最后总结

我们先来看一下完整代码:
class UF {
    // 连通分量个数
    private int count;
    // 存储一棵树
    private int[] parent;
    // 记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;

        // 小树接到大树下面,较平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    public boolean connected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }

    private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            // 进行路径压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }
}
Union-Find 算法的复杂度可以这样分析:构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度;连通两个节点union、判断两个节点的连通性connected、计算连通分量count所需的时间复杂度均为 O(1)。 至此,算法就说完了。后续可以考虑谈几道用到该算法的有趣问题,敬请期待。
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