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Union-Find 算法怎么应用?

上篇文章 Union-Find 并查集算法详解 很多读者对于 Union-Find 算法的应用表示很感兴趣,这篇文章就拿几道 LeetCode 题目来讲讲这个算法的巧妙用法。

首先,Union-Find 算法解决的是图的动态连通性问题,这个算法本身不难,能不能应用出来主要是看你抽象问题的能力,是否能够把原始问题抽象成一个有关图论的问题。

先复习一下上篇文章写的算法代码,回答几个问题:

class UF {
    // 记录连通分量个数
    private int count;
    // 存储若干棵树
    private int[] parent;
    // 记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    /* 将 p 和 q 连通 */
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;

        // 小树接到大树下面,较平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    /* 判断 p 和 q 是否互相连通 */
    public boolean connected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        // 处于同一棵树上的节点,相互连通
        return rootP == rootQ;
    }

    /* 返回节点 x 的根节点 */
    private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            // 进行路径压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }

    public int count() {
        return count;
    }
}

算法的关键点有 3 个:

1、parent数组记录每个节点的父节点,相当于指向父节点的指针,所以parent数组内实际存储着一个森林(若干棵多叉树)。

2、size数组记录着每棵树的重量,目的是让union后树依然拥有平衡性,而不会退化成链表,影响操作效率。

3、find函数中进行路径压缩,保证任意树的高度保持在常数,使得unionconnectedAPI 时间复杂度为 O(1)。

有的读者问,既然有了路径压缩,size数组的重量平衡还需要吗?这个问题很有意思,因为路径压缩保证了树高为常数(不超过 3),那么树就算不平衡,高度也是常数,基本没什么影响。

我认为,论时间复杂度的话,确实,不需要重量平衡也是 O(1)。但是如果加上size数组辅助,效率还是略微高一些,比如下面这种情况:

如果带有重量平衡优化,一定会得到情况一,而不带重量优化,可能出现情况二。高度为 3 时才会触发路径压缩那个while循环,所以情况一根本不会触发路径压缩,而情况二会多执行很多次路径压缩,将第三层节点压缩到第二层。

也就是说,去掉重量平衡,虽然对于单个的find函数调用,时间复杂度依然是 O(1),但是对于 API 调用的整个过程,效率会有一定的下降。当然,好处就是减少了一些空间,不过对于 Big O 表示法来说,时空复杂度都没变。

下面言归正传,来看看这个算法有什么实际应用。

一、DFS 的替代方案

很多使用 DFS 深度优先算法解决的问题,也可以用 Union-Find 算法解决。

比如第 130 题,被围绕的区域:给你一个 M×N 的二维矩阵,其中包含字符XO,让你找到矩阵中完全X围住的O,并且把它们替换成X

void solve(char[][] board);

注意哦,必须是完全被围的O才能被换成X,也就是说边角上的O一定不会被围,进一步,与边角上的O相连的O也不会被X围四面,也不会被替换:

PS:这让我想起小时候玩的棋类游戏「黑白棋」,只要你用两个棋子把对方的棋子夹在中间,对方的子就被替换成你的子。可见,占据四角的棋子是无敌的,与其相连的边棋子也是无敌的(无法被夹掉)。

解决这个问题的传统方法也不困难,先用 for 循环遍历棋盘的四边,用 DFS 算法把那些与边界相连的O换成一个特殊字符,比如#;然后再遍历整个棋盘,把剩下的O换成X,把#恢复成O。这样就能完成题目的要求,时间复杂度 O(MN)。

这个问题也可以用 Union-Find 算法解决,虽然实现复杂一些,甚至效率也略低,但这是使用 Union-Find 算法的通用思想,值得一学。

你可以把那些不需要被替换的O看成一个拥有独门绝技的门派,它们有一个共同祖师爷叫dummy,这些Odummy互相连通,而那些需要被替换的Odummy不连通

这就是 Union-Find 的核心思路,明白这个图,就很容易看懂代码了:

首先要解决的是,根据我们的实现,Union-Find 底层用的是一维数组,构造函数需要传入这个数组的大小,而题目给的是一个二维棋盘。

这个很简单,二维坐标(x,y)可以转换成x * n + y这个数(m是棋盘的行数,n是棋盘的列数)。敲黑板,这是将二维坐标映射到一维的常用技巧

其次,我们之前描述的「祖师爷」是虚构的,需要给他老人家留个位置。索引[0.. m*n-1]都是棋盘内坐标的一维映射,那就让这个虚拟的dummy节点占据索引m*n好了。

void solve(char[][] board) {
    if (board.length == 0) return;

    int m = board.length;
    int n = board[0].length;
    // 给 dummy 留一个额外位置
    UF uf = new UF(m * n + 1);
    int dummy = m * n;
    // 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (board[i][0] == 'O')
            uf.union(i * n, dummy);
        if (board[i][n - 1] == 'O')
            uf.union(i * n + n - 1, dummy);
    }
    // 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (board[0][j] == 'O')
            uf.union(j, dummy);
        if (board[m - 1][j] == 'O')
            uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
    }
    // 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
    int[][] d = new int[][]{{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};
    for (int i = 1; i < m - 1; i++) 
        for (int j = 1; j < n - 1; j++) 
            if (board[i][j] == 'O')
                // 将此 O 与上下左右的 O 连通
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int x = i + d[k][0];
                    int y = j + d[k][1];
                    if (board[x][y] == 'O')
                        uf.union(x * n + y, i * n + j);
                }
    // 所有不和 dummy 连通的 O,都要被替换
    for (int i = 1; i < m - 1; i++) 
        for (int j = 1; j < n - 1; j++) 
            if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
                board[i][j] = 'X';
}

这段代码很长,其实就是刚才的思路实现,只有和边界O相连的O才具有和dummy的连通性,他们不会被替换。

说实话,Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀,它可以解决更复杂,更具有技巧性的问题,主要思路是适时增加虚拟节点,想办法让元素「分门别类」,建立动态连通关系

二、判定合法算式

这个问题用 Union-Find 算法就显得十分优美了。题目是这样:

给你一个数组equations,装着若干字符串表示的算式。每个算式equations[i]长度都是 4,而且只有这两种情况:a==b或者a!=b,其中a,b可以是任意小写字母。你写一个算法,如果equations中所有算式都不会互相冲突,返回 true,否则返回 false。

比如说,输入["a==b","b!=c","c==a"],算法返回 false,因为这三个算式不可能同时正确。

再比如,输入["c==c","b==d","x!=z"],算法返回 true,因为这三个算式并不会造成逻辑冲突。

我们前文说过,动态连通性其实就是一种等价关系,具有「自反性」「传递性」和「对称性」,其实==关系也是一种等价关系,具有这些性质。所以这个问题用 Union-Find 算法就很自然。

核心思想是,equations中的算式根据==!=分成两部分,先处理==算式,使得他们通过相等关系各自勾结成门派;然后处理!=算式,检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性

boolean equationsPossible(String[] equations) {
    // 26 个英文字母
    UF uf = new UF(26);
    // 先让相等的字母形成连通分量
    for (String eq : equations) {
        if (eq.charAt(1) == '=') {
            char x = eq.charAt(0);
            char y = eq.charAt(3);
            uf.union(x - 'a', y - 'a');
        }
    }
    // 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
    for (String eq : equations) {
        if (eq.charAt(1) == '!') {
            char x = eq.charAt(0);
            char y = eq.charAt(3);
            // 如果相等关系成立,就是逻辑冲突
            if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))
                return false;
        }
    }
    return true;
}

至此,这道判断算式合法性的问题就解决了,借助 Union-Find 算法,是不是很简单呢?

三、简单总结

使用 Union-Find 算法,主要是如何把原问题转化成图的动态连通性问题。对于算式合法性问题,可以直接利用等价关系,对于棋盘包围问题,则是利用一个虚拟节点,营造出动态连通特性。

另外,将二维数组映射到一维数组,利用方向数组d来简化代码量,都是在写算法时常用的一些小技巧,如果没见过可以注意一下。

很多更复杂的 DFS 算法问题,都可以利用 Union-Find 算法更漂亮的解决。LeetCode 上 Union-Find 相关的问题也就二十多道,有兴趣的读者可以去做一做。

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